Démonstration des équations de la relativité restreinte

Laurent Besson

Postulats :

Nous admettons les résultats de Michelson et Morley qui indique que la vitesse mesurée de la lumière est indépendante de la vitesse de la source ou du récepteur c=cte. Cela indique que c'est une constante pour tout observateur en mouvement rectiligne uniforme (v=cte).
1) Les lois de la physique ont la même forme dans tous les référentiels galiléens
2) La vitesse de la lumière dans le vide a la même valeur dans tous les référentiels galiléens
Voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A9_restreinte#Les_postulats_d.27Einstein_.281905.29
“Le second postulat formalise l'interprétation des équations de Maxwell suivant laquelle il n'y a pas d'éther, et il est conforme aux expériences (en premier lieu celle de Michelson et Morley). Une des conséquences est que la lumière peut être utilisée, de manière identique dans tout référentiel inertiel, comme moyen de communication pour y synchroniser les horloges qui y sont immobiles.
On peut se passer du second postulat pour déterminer les équations des transformations de Lorentz à condition d'introduire une hypothèse supplémentaire au premier postulat : l'espace-temps est homogène et isotrope. Ce fait a été découvert dès 1910 par Kunz et indépendamment par Comstock. L'hypothèse additionnelle conduit à un groupe de transformations, dépendant d'un paramètre “K”, physiquement homogène au carré d'une vitesse. Ces transformations s'identifient aux transformations de Galilée si K est infini et aux transformations de Lorentz si K est fini positif. L'identification de c à la vitesse de la lumière, établie comme finie par les observations, se traduit par le second postulat. Jean-Marc Lévy-Leblond fait remarquer que cette approche implique seulement l'existence d'une vitesse-limite c, qui est celle de toutes les particules sans masse, et donc de la lumière dans nos théories actuelles. Si le photon devait s'avérer avoir une masse (voir à ce sujet les propriétés physiques du photon), la relativité (ou plus exactement sa description mathématique) ne serait pas remise en question, mais la lumière aurait une vitesse légèrement inférieure à c, et qui dépendrait des référentiels, ainsi d'ailleurs que de l'énergie des photons la constituant, et donc de sa longueur d'onde.”
Je vous laisse imaginer comment démontrer la RR avec !
“L'identification de c à la vitesse de la lumière, établie comme finie par les observations, se traduit par le second postulat.” si il n'y avait pas eu Michelson et Morley !

Experience de pensée

Soient deux repère galiléen S et S' dont S' est animé d'un mouvement rectiligne uniforme par rapport à S selon l'axe ox.... Les plans xoy confondus avec x'o'y', xoz avec x'o'z'.
Lorsque les deux origines respectives des deux repères se confondent, un flash lumineux est émis de ce point à cet instant t=t'=0.
D'après le postulat chaque observateur rattaché à chaque repère pense être au centre de la sphère lumineuse ainsi créée.

Démonstration

Il doit exister une transformation T telle que T(S') => S
C'est à dire T( x ' 2 +y ' 2 +z ' 2 = c 2 .t ' 2 ) x 2 +y 2 +z 2 = c 2 . t 2
Hypothèse 1)
Prenons les transformation de Galilée comme T(S')
x' = x-v.t
y' = y
z' = z
t' = t
Remplacons pour que cela donne :
(x-v.t ) 2 +y 2 +z 2 = c 2 . t 2
x 2 + v 2 . t 2 -2.x.v.t+y 2 +z 2 = c 2 . t 2
x 2 +y 2 +z 2 = c 2 . t 2 - v 2 . t 2 +2.x.v.t
x 2 +y 2 +z 2 = c 2 . t 2 ( 1- v 2 c 2 ) +2.x.v.t
Hypothèse 2)
On voit un terme ( 1- v 2 c 2 ) multiplicatif de t pour t', par ailleurs on voit un terme linéaire 2.x.v.t ...
Nous alons donc mettre un dénominateur 1- v 2 c 2 à x' et t', ayant tous deux une forme identique telleque :
x' = x-v.t 1- v 2 c 2
y' = y
z' = z
t' = t- α .x 1- v 2 c 2
Remplacons pour que cela donne :
( x-v.t 1- v 2 c 2 ) 2 +y 2 +z 2 = c 2 .( t- α .x 1- v 2 c 2 ) 2
x 2 + v 2 . t 2 -2.x.v.t 1- v 2 c 2 + y 2 + z 2 = c 2 .( t 2 + α 2 . x 2 -2. α .x.t 1- v 2 c 2 )
On passe de l'autre côté de légalité les termes :
v 2 . t 2 -2.x.v.t 1- v 2 c 2 et c 2 .( α 2 . x 2 1- v 2 c 2 )
x 2 - c 2 . α 2 . x 2 1- v 2 c 2 + y 2 + z 2 = c 2 . t 2 1- v 2 c 2 - v 2 . t 2 1- v 2 c 2 + 2. α .x.t c 2 1- v 2 c 2 - 2.x.v.t 1- v 2 c 2
Nous allons fixer α afin d'annuler : 2. α .x.t c 2 1- v 2 c 2 - 2.x.v.t 1- v 2 c 2 => α = v c 2 => α 2 = v 2 c 4
En remplaçant :
x 2 - c 2 . v 2 c 4 . x 2 1- v 2 c 2 + y 2 + z 2 = c 2 . t 2 1- v 2 c 2 - v 2 . t 2 1- v 2 c 2 + -2. v c 2 .x.t c 2 1- v 2 c 2 - 2.x.v.t 1- v 2 c 2
x 2 ( 1- v 2 c 2 ) 1- v 2 c 2 + y 2 + z 2 = c 2 . t 2 ( 1- v 2 c 2 1- v 2 c 2 + -2. v c 2 .x.t c 2 1- v 2 c 2 - 2.x.v.t 1- v 2 c 2 )
x 2 + y 2 + z 2 = c 2 . t 2
CQFD ! ;)
Conclusion :
x' = x-v.t 1- v 2 c 2
y' = y
z' = z
t' = t- v c 2 .x 1- v 2 c 2
Sont les transformations qui fonctionnent pour la transformation T(S')=>S.
Ce sont en outre les transformations de Lorentz...
Mais je n'ai nul part eu besoin de les invoquer (presque magiquement) ! ;)