Relativité Générale Hypercomplexe

I – L’idée originale

Introduction :

Ma première idée (l’année 1996 couchée sur le papier en 1997) fut de remplacer purement et simplement le quadri-vecteur espace-temps scalaire par un quadri-vecteur de composé de nombres quaternions. Un nombre quatrenion est un nombre qui se décompose sur une base de 4 matrices (entre autre), l’unité et trois autres qui ne commutent pas entres elles. Cette propriété me parut interessante car celle-ci se retrouve en physique quantique. Par ailleurs une représentation des hypercomplexe est celle des matrices de Pauli (http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrices_de_Pauli) pour les particules de spin 1/2 (http://fr.wikipedia.org/wiki/Spin), mais la forme générale admet les des spins quelconques $(0;1/2;1)$ . De plus le spin ne sera pas associé à une particule, mais à une propriété locale de l’espace-temps.

Le nombre quaternion

Soit $\mathbb{H}$ et une base $B(I,J,K,L)$ de $\mathbb{H}$
tels que $J.K=L,K.L=J,L.J=K,J^{2}=K^{2}=L^{2}=I$

Soit $A$ un quaternion de l’espace $\mathbb{H}$ formé de $(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^{4}$

$A=a.I+b.J+c.K+d.K \ \ \ \ (1)$

Soit $B$ un quaternion de l’espace $\mathbb{H}$ formé de $(a',b',c',d')\in\mathbb{R}^{4}$

Le produit de :

$A.B=(a.a'-b.b'-c.c'-d.d').I+(a.b'+b.a'+c.d'-c'.d).J+(a.c'+c.a'+d.b'-d'.b).K+(a.d'+d.a'+d.c'-d'.c).L$

Si on pose $A=\{a,\vec{V\}}$ avec $\vec{V}=\left(\begin{array}{c} b\\ c\\ d\end{array}\right)$
et $B=\{b,\vec{V'\}}$ avec $\vec{V'}=\left(\begin{array}{c} b'\\ c'\\ d'\end{array}\right)$

Cela donne : $A.B=\{a,\vec{V\}}.\{a',\vec{V'\}}=\{a.a'-\vec{V}.\vec{V'},a.\vec{V'}+a'.\vec{V}+\vec{V}\wedge\vec{V'}\} \ \ \ \ (2)$
Voir : Wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Quaternion
Voir aussi http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrices_de_Pauli
Ou encore : http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_de_Dirac

Le nombre quaternion conjugué

Soit $A=\{a,\vec{V\}}$ et $B=\{b,\vec{V'\}}$ tels que $A.B=\{k,\vec{0\}}$

Le nombre quaternion conjugué se retrouve ainsi, soit la multipliquation de deux quaternions :
$A.B=\{a,\vec{V\}}.\{a',\vec{V'\}}=\{a.a'-\vec{V}.\vec{V'},a.\vec{V'}+a'.\vec{V}+\vec{V}\wedge\vec{V'}\}=\{k,\vec{0}\}$

D’où : $a.a'-\vec{V}.\vec{V'}=k$ et $a.\vec{V'}+a'.\vec{V}+\vec{V}\wedge\vec{V'}=\vec{0}$

$(a.\vec{V'}+a'.\vec{V})\in P$ le plan contenant les deux vecteurs

$\vec{V}\wedge\vec{V'}$ est perpendiculaire à $P$

Ceci implique $a.\vec{V'}+a'.\vec{V}+\vec{V}\wedge\vec{V'}=\vec{0}$
ssi $a.\vec{V'}+a'.\vec{V}=\vec{0}$ et $\vec{V}\wedge\vec{V'}=\vec{0}$
d’où : $a.\vec{V'}=-a'.\vec{V}$ soit $\vec{V'}=\beta.\vec{V}$ et par conséquent $\vec{V}\wedge\vec{V'}=\vec{0} , CQFD$

II – Le nombre quaternion comme outil à la physique

Application à la physique :

Soit une position $X=\{c.t,\vec{r}\}$ , une variation infinitésimale
de cette position est : $dX=\{c.dt,d\vec{r}\}$

Posons son carré : $dX^{2}=\{c.dt,d\vec{r}\}.\{c.dt,d\vec{r}\}=\{c^{2}.dt^{2}-d\vec{r}^{2},2.c.dt.d\vec{r}\}$

Naturellement on retrouve l’invariant de la relativité : $c^{2}.dt^{2}-d\vec{r}^{2}$

Et un terme vectoriel : $2.c.dt.d\vec{r}$

Définition de l’opérateur Nabla réduit

Nous définirons l’opérateur Nabla réduit comme suit : $\nabla=\{\frac{\partial}{c.\partial t},\vec{\nabla}\} \ \ \ \ (3)$

Définition de l’opérateur laplacien réduit

Nous définirons l’opérateur laplacien réduit comme suit : $\triangle=\nabla^{2}=\{\frac{\partial}{c.\partial t},\vec{\nabla}\}.\{\frac{\partial}{c.\partial t},\vec{\nabla}\}=\{\frac{\partial^{2}}{c^{2}.\partial t^{2}}-\triangle,2.\frac{\partial}{c.\partial t}.\vec{\nabla}\} \ \ \ \ (4)$

Définition d’un potentiel

Soit le potentiel électromagnétique : $A=\{\phi,\vec{A}.c\} \ \ \ \ (5)$
Appliquons l’opérateur nabla réduit à ce potentiel : $\nabla.A=\{\frac{\partial}{c.\partial t},\overrightarrow{\nabla}\}.\{\phi,\overrightarrow{A}.c\}=\{\frac{\partial\phi}{c.\partial t}-c.\overrightarrow{\nabla}.\overrightarrow{A},\frac{\partial\overrightarrow{A}}{\partial t}+\overrightarrow{\nabla}\phi+c.\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}\}$

$\nabla.A=\{\frac{\partial\phi}{c.\partial t}-c.\overrightarrow{\nabla}.\overrightarrow{A},\frac{\partial\overrightarrow{A}}{\partial t}+\overrightarrow{\nabla}\phi+c.\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}\}$

Or le : $\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}$ le champ magnétique, et $\overrightarrow{\nabla}\phi=-\overrightarrow{E}$
Et la condition de jauge de Lorenz : $\frac{\partial\phi}{c.\partial t}+c.\overrightarrow{\nabla}.\overrightarrow{A} = 0$
amène à $\frac{\partial\phi}{c.\partial t}-c.\overrightarrow{\nabla}.\overrightarrow{A}=-2.c.\overrightarrow{\nabla}.\overrightarrow{A}$
Donne : $\nabla.A=\{-2.c.\overrightarrow{\nabla}.\overrightarrow{A},-\overrightarrow{E}+c.\overrightarrow{B}\} \ \ \ \ (6)$

Cas particulier :Un potentiel scalaire

Soit donc $A=\{\varphi,\overrightarrow{0\}}$

$\nabla.A=\{\frac{\partial\phi}{c.\partial t}-c.\overrightarrow{\nabla}.\overrightarrow{0},\frac{\partial\overrightarrow{0}}{\partial t}+\overrightarrow{\nabla}\phi+c.\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{0}\}=\{\frac{\partial\phi}{c.\partial t},\overrightarrow{\nabla}\phi\}$

Donc : $\nabla.A=\{\frac{\partial\phi}{c.\partial t},\overrightarrow{\nabla}\phi\} \ \ \ \ (7)$

III – Définition du quadri-vecteur position avec les nombres quaternions

Définition

La relativité générale hypercomplexe se définie comme la relativité générale en remplaçant les nombres réels avec des nombres quaternions.

La position est définie par le quadrivecteur qui suit : $X=\sum X^{\alpha}\overrightarrow{e_{\alpha}}$
avec les composantes hypercomplexes : $X^{\alpha}=\sum[X^{\alpha i}h_{i}]$
Le quadri-vecteur devient $X=\sum[\sum[X^{\alpha i}h_{i}]\overrightarrow{e_{\alpha}}]$

avec la notation d’Einstein, il devient :

$X=X^{\alpha i}h_{i}\overrightarrow{e_{\alpha}} \ \ \ \ (8)$

avec : $h_{1}.h_{2}.h_{3}=-h_{0}$ et $h_{j}.h_{j}=-h_{0}$

IV – Postulat de la relativité générale hypercomplexe

Postulat de la relativité générale hypercomplexe

Postulat 1 : (Les postulats de la relativité générale sont concervés) : Le principe d’équivalence
Postulat 2 : Les coordonnées de l’espace-temps sont hypercomplexes